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初一数学知识点总结几何图形初步、一元一次方程

几何图形初步


本章的主要内容是图形的初步认识,从生活周围熟悉的物体入手,对物体的形状的认识从感性逐步上升到抽象的几何图形。通过从不同方向看立体图形和展开立体图形,初步认识立体图形与平面图形的联系。在此基础上,认识一些简单的平面图形——直线、射线、线段和角。


一、目标与要求


1.能从现实物体中抽象得出几何图形,正确区分立体图形与平面图形;能把一些立体图形的问题,转化为平面图形进行研究和处理,探索平面图形与立体图形之间的关系。


2.经历探索平面图形与立体图形之间的关系,发展空间观念,培养提高观察、分析、抽象、概括的能力,培养动手操作能力,经历问题解决的过程,提高解决问题的能力。


3.积极参与教学活动过程,形成自觉、认真的学习态度,培养敢于面对学习困难的精神,感受几何图形的美感;倡导自主学习和小组合作精神,在独立思考的基础上,能从小组交流中获益,并对学习过程进行正确评价,体会合作学习的重要性。


二、重点


从现实物体中抽象出几何图形,把立体图形转化为平面图形是重点;


正确判定围成立体图形的面是平面还是曲面,探索点、线、面、体之间的关系是重点;


画一条线段等于已知线段,比较两条线段的长短是一个重点,在现实情境中,了解线段的性质“两点之间,线段最短”是另一个重点。


三、难点


立体图形与平面图形之间的转化是难点;


探索点、线、面、体运动变化后形成的图形是难点;


画一条线段等于已知线段的尺规作图方法,正确比较两条线段长短是难点。


四、知识点、概念总结


1.几何图形:点、线、面、体这些可帮助人们有效的刻画错综复杂的世界,它们都称为几何图形。从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。有些几何图形的各部分不在同一平面内,叫做立体图形。有些几何图形的各部分都在同一平面内,叫做平面图形。虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形,但它们是互相联系的。


2.几何图形的分类:几何图形一般分为立体图形和平面图形。


3.直线:几何学基本概念,是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹。从平面解析几何的角度来看,平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。求两条直线的交点,只需把这两个二元一次方程联立求解,当这个联立方程组无解时,二直线平行;有无穷多解时,二直线重合;只有一解时,二直线相交于一点。常用直线与X轴正向的夹角(叫直线的倾斜角)或该角的正切(称直线的斜率)来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。


4.射线:在欧几里德几何学中,直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线或半直线。


5.线段:指一个或一个以上不同线素组成一段连续的或不连续的图线,如实线的线段或由“长划、短间隔、点、短间隔、点、短间隔”组成的双点长划线的线段。


线段有如下性质:两点之间线段最短。


6.两点间的距离:连接两点间线段的长度叫做这两点间的距离。


7.端点:直线上两个点和它们之间的部分叫做线段,这两个点叫做线段的端点。


线段用表示它两个端点的字母或一个小写字母表示,有时这些字母也表示线段长度,记作线段AB或线段BA,线段a。其中AB表示直线上的任意两点。


8.直线、射线、线段区别:直线没有距离。射线也没有距离。因为直线没有端点,射线只有一个端点,可以无限延长。


9.角:具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的两条边。


一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。所旋转射线的端点叫做角的顶点,开始位置的射线叫做角的始边,终止位置的射线叫做角的终边。


10.角的静态定义:具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的两条边。


11.角的动态定义:一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。所旋转射线的端点叫做角的顶点,开始位置的射线叫做角的始边,终止位置的射线叫做角的终边


12.角的符号:角的符号:∠


13.角的种类:角的大小与边的长短没有关系;角的大小决定于角的两条边张开的程度,张开的越大,角就越大,相反,张开的越小,角则越小。在动态定义中,取决于旋转的方向与角度。角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0角这10种。以度、分、秒为单位的角的度量制称为角度制。此外,还有密位制、弧度制等。


锐角:大于0°,小于90°的角叫做锐角。


直角:等于90°的角叫做直角。


钝角:大于90°而小于180°的角叫做钝角。


平角:等于180°的角叫做平角。


优角:大于180°小于360°叫优角。


劣角:大于0°小于180°叫做劣角,锐角、直角、钝角都是劣角。


周角:等于360°的角叫做周角。


负角:按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。


正角:逆时针旋转的角为正角。


0角:等于零度的角。


余角和补角:两角之和为90°则两角互为余角,两角之和为180°则两角互为补角。等角的余角相等,等角的补角相等。


对顶角:两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线,这样的两个角叫做互为对顶角。两条直线相交,构成两对对顶角。互为对顶角的两个角相等。


还有许多种角的关系,如内错角,同位角,同旁内角(三线八角中,主要用来判断平行)!


14.几何图形分类


(1)立体几何图形可以分为以下几类:


第一类:柱体;


包括:圆柱和棱柱,棱柱又可分为直棱柱和斜棱柱,棱柱体按底面边数的多少又可分为三棱柱、四棱柱、N棱柱;


棱柱体积统一等于底面面积乘以高,即V=SH,


第二类:锥体;


包括:圆锥体和棱锥体,棱锥分为三棱锥、四棱锥以及N棱锥;


棱锥体积统一为V=SH/3,


第三类:球体;


此分类只包含球一种几何体


体积公式V=4πR3/3,


其他不常用分类:圆台、棱台、球冠等很少接触到。


大多几何体都由这些几何体组成。


(2)平面几何图形如何分类


a.圆形


b.多边形:三角形(分为一般三角形,直角三角形,等腰三角形,等边三角形)、四边形(分为不规则四边形,体形,平行四边形,平行四边形又分:矩形,菱形,正方形)、五边形、六……


注:正方形既是矩形也是菱形


一元一次方程


本章内容是初一数学的核心,也是所有代数方程的基础。丰富多彩的问题情境和解决问题的快乐很容易激起学生对数学的乐趣,所以要注意引导学生从身边的问题研究起,进行有效的数学活动和合作交流,让学生在主动学习、探究学习的过程中获得知识,提升能力,体会数学思想方法


一、目标与要求


1.通过处理实际问题,让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步;


2.初步学会如何寻找问题中的相等关系,列出方程,了解方程的概念;


3.培养学生获取信息,分析问题,处理问题的能力。


二、重点


从实际问题中寻找相等关系;


建立列方程解决实际问题的思想方法,学会合并同类项,会解"ax+bx=c"类型的一元一次方程


三、难点


从实际问题中寻找相等关系;


分析实际问题中的已经量和未知量,找出相等关系,列出方程,使学生逐步建立列方程解决实际问题的思想方法。


四、知识点、概念总结


1.一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。


2.一元一次方程的标准形式:ax+b=0(x是未知数,a、b是已知数,且a≠0)。


3.条件:一元一次方程必须同时满足4个条件:


(1)它是等式;


(2)分母中不含有未知数;


(3)未知数最高次项为1;


(4)含未知数的项的系数不为0.


4.等式的性质:


等式的性质一:等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式,等式仍然成立。


等式的性质二:等式两边同时扩大或缩小相同的倍数(0除外),等式仍然成立。


等式的性质三:等式两边同时乘方(或开方),等式仍然成立。


解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一:等式两边同时加一个数或减同一个数,等式仍然成立。


5.合并同类项


(1)依据:乘法分配律


(2)把未知数相同且其次数也相同的相合并成一项;常数计算后合并成一项


(3)合并时次数不变,只是系数相加减。


6.移项


(1)含有未知数的项变号后都移到方程左边,把不含未知数的项移到右边。


(2)依据:等式的性质


(3)把方程一边某项移到另一边时,一定要变号。


7.一元一次方程解法的一般步骤:


使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。


一般解法:


(1)去分母:在方程两边都乘以各分母的最小公倍数;


(2)去括号:先去小括号,再去中括号,最后去大括号;(记住如括号外有减号的话一定要变号)


(3)移项:把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边;移项要变号


(4)合并同类项:把方程化成ax=b(a≠0)的形式;


(5)系数化成1:在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=b/a.


8.同解方程


如果两个方程的解相同,那么这两个方程叫做同解方程。


9.方程的同解原理:


(1)方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。


(2)方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。


10.列一元一次方程解应用题:


(1)读题分析法:…………多用于“和,差,倍,分问题”


仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如:“大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少,配套-----”,利用这些关键字列出文字等式,并且据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填入代数式,得到方程.


(2)画图分析法:…………多用于“行程问题”


利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有关图形,使图形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取得布列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量),填入有关的代数式是获得方程的基础.


11.做一元一次方程应用题的重要方法:


(1)认真审题(审题)


(2)分析已知和未知量


(3)找一个合适的等量关系


(4)设一个恰当的未知数


(5)列出合理的方程(列式)


(6)解出方程(解题)


(7)检验


(8)写出答案(作答)


一元一次方程牵涉到许多的实际问题,例如工程问题、种植面积问题、比赛比分问题、路程问题,相遇问题、逆流顺流问题、相向问题分段收费问题、盈亏、利润问题。

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